Achter de deuren

Blog 88, Achter de deuren

Je neemt deel aan een spelprogramma en mag uit drie deuren kiezen om er één te openen. Achter één van de deuren staat een auto, achter de twee andere deuren een geit. Je kiest deur 1. Voordat je de deur kunt openen, opent de spelleider deur 3 en daar staat een geit. 

De presentator, die weet achter welke deur de auto staat, vraagt nu of je van deur wil wisselen. Doe je dat of niet?

Je zou het niet zeggen, maar dit probleem is een beroemd voorbeeld uit een tak van de wiskunde, namelijk de speltheorie. Speltheoretisch onderzoek gaat over de manier waarop mensen beslissingen nemen. Het belang blijkt wel uit het feit dat er een aantal Nobelprijzen voor de Economie is uitgereikt voor dit soort onderzoek.

Wat zou jij doen? Van deur wisselen of niet? Toen alle deuren dicht waren had je een kans van 1 op 3 om de auto te winnen. Je zou denken dat die kans nu is teruggebracht tot 1 op 2. Dus is het om het even of je wisselt of niet.

Intermezzo

Ik leg dit probleem voor aan mijn lief, terwijl mijn hoofd gevuld is met logica en redeneringen waarom het belangrijk is dat de presentator weet waar de auto zit. Ik vraag: "wat zou jij kiezen?" Ze geeft direct het goede antwoord, namelijk deur 2. Ik vraag waarom. "Omdat anders de geiten naast elkaar staan en dan krijgen ze ruzie." Ik kijk haar verbijsterd aan.

Terug naar het idee dat het om het even is of je wisselt of niet. Er is dan één ding dat je vergeet mee te nemen in jouw redenering, namelijk dat de presentator weet waar de auto staat. Stel de auto zit achter deur 2. En dat maakt uit voor wat de presentator doet, want als jij voor deur 1 kiest, heeft de presentator geen andere mogelijkheid dan deur 3 te openen. We zetten de mogelijkheden die er zijn op een rij:

Auto achter deur 1

Presentator opent deur 2 of 3

Auto achter deur 2

Presentator moet deur 3 openen, want deur 1 is gekozen.

Auto achter deur 3

Presentator moet deur 2 openen, maar dat is hier niet aan de orde, want hij heeft deur 3 al opengezet.

Als de auto achter deur 2 staat heeft de presentator maar één keus. Hij  moet 100% zeker voor deur 3 kiezen. Als de auto achter deur 1 staat heeft de presentator twee keuzen, 50% deur 2 en 50% deur 3.

De kans dat de auto achter deur 2 staat is dus twee maal zo groot als deur 1. Wisselen maakt de kans om te winnen dus groter.

De redenering doet me denken aan een raadseltje uit mijn jeugd, waarbij het feit dat een persoon iets wel of niet weet bepalend is voor de redenering die tot de oplossing leidt..

Er staan drie jongetjes achter elkaar, ze kunnen alleen het jongetje voor zich zien en kunnen niet achterom kijken. Ze worden geblinddoekt en krijgen een petje op hun hoofd. Er wordt tegen ze gezegd dat er drie witte en twee zwarte petjes zijn. De blinddoek gaat af een aan het achterste jongetje wordt gevraagd welk petje hij op heeft. Dat weet hij niet. Dezelfde vraag voor het middelste jongetje, die het ook niet weet. Oh, zegt het voorste jongetje, dan weet ik het wel.
Welke petje heeft het voorste jongetje op en waarom?

Antwoord:

De jongetjes weten dat er drie witte en twee zwarte petjes zijn. Als het achterste jongetje twee zwarte petjes zou zien, weet hij dat hij een wit petje op heeft. Dat is dus niet zo. Er blijven de volgende mogelijkheden over:

Het middelste jongetje weet het ook niet. De mogelijkheden hiernaast geven aan dat deze middelste jongen dan een wit petje voor zich ziet.

De voorste jongen volgt deze redenering ook en zegt dus "ik heb een wit petje op".